Grupo #3

Historia Según la tradición, las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo, en su estudio del problema de la duplicación del cubo,2 donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratóstenes.3 Sin embargo, el primero en usar el término hipérbola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas,4 considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cónicas. Solución A Problemas Vídeos

Ejercicios Para Desarrollar 1)Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes hipérbolas

2) Representa gráficamente y determina las coordenadas del centro, de los focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes hipérbolas:

Ejercicio 1: Determina la ecuación canónica de la hipérbola cuyo centro es el punto C(2, 3) y tiene sus focos sobre la recta y = 3. Además, la distancia entre los focos es 10 unidades y la distancia entre sus vértices es 8 unidades. Traza la gráfica y determina las coordenadas de los vértices, focos y ecuaciones de las asíntotas. Ejercicio 2: Determina la ecuación canónica y los demás elementos de la hipérbola con vértices en (0, 2) y (6, 2) y las asíntotas son x 3 2 x, y 4 3 2 y = = − . Ejercicio 3: En cada uno de los ejercicios siguientes encuentre el centro, los focos, los vértices y las ecuaciones de las asíntotas de cada hipérbola. Trace la gráfica correspondiente. ( ) ( ) 3.2 ( ) x 5 4(y 4) 16 1 9 x 1 4 y 3 3.1 2 2 2 2 + − − = = + − − Ejercicio 4: Dada la ecuación 3x2 – y 2 +12x – 9 =0, decide si representa a una hipérbola. En caso afirmativo halla la ecuación canónica y determina sus elementos. Ejercicio 5: Dada la hipérbola cuya ecuación viene dada por 7x2 – 9y2 = 63 . Determina las coordenadas de los focos, de los vértices y las ecuaciones de las asíntotas. Traza la gráfica. RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS IMPARES 1.- Ecuación canónica de la parábola: ( ) ( ) 1 9 y 3 16 x 2 2 2 = − − − Focos: F1(– 3, 3) y F2(7, 3) Vértices: V1(– 2, 3) y V2(6, 3) Ecuaciones de las asíntotas: 3x – 4y + 6 = 0 y 3x + 4y – 18 = 0 3.1- Centro: (– 1, 3) Focos: F1(– 1, 3 – 13 ) y F2(– 1, 3 + 13 ) Vértices: V1(– 1, 1) y V2(– 1, 5) Ecuaciones de las asíntotas: y = (x 1) 3 3 2 + + y = – (x 1) 3 3 2 + + 5.- Ecuación canónica: 1 7 y 9 x 2 2 − = Focos: F1(– 4, 0) y F2(4, 0) Vértices: V1(– 3, 0) y V2(3, 0) Ejemplos De La Hipérbola Ejemplo 1 Hallar la ecuación canónica, los focos, los vértices, la excentricidad y las asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es 9x2 – y 2 – 36x – 6y + 18 = 0 Completando cuadrados en ambas variables tenemos 9(x 2 – 4x + 4 – 4) – (y2 + 6y + 9 – 9) + 18 = 0 9(x – 2)2 – 36 – (y + 3)2 + 9 + 18 = 0 9(x – 2)2 – (y + 3)2 = 9 Dividiendo por 9 a ambos miembros de la igualdad queda: 1 9 ( 3) ( 2) 2 2 = + − − y x Por tanto, el centro está en (2, – 3). El eje transverso de la hipérbola es horizontal, a = 1 y b = 3. Como c 2 = a 2 + b2 , se tiene que c = 10 . Por lo tanto los vértices están en (1, – 3) y (3, – 3), en tanto que los focos se ubican en (2 + 10 , – 3) y en (2 – 10 , – 3). La excentricidad es e = 10 . Ejemplo 2 Hallar la ecuación canónica de la hipérbola con vértices en (3, – 5) y (3, 1), y las asíntotas son las rectas y = 2x – 8 e y = – 2x + 4 . Además calcule los focos, la excentricidad y trace la gráfica. Por ser el centro el punto medio del segmento que une los vértices sus coordenadas son (3, –2). Además, la hipérbola tiene eje transverso vertical y el valor de a es 3. Por otro lado, por el teorema de las asíntotas m = 2 = 2 3 b 2 a b b a ⇒ = ⇒ = Por tanto, la ecuación canónica es 1 4 9 (x 3) 9 (y 2) 2 2 = − − +El valor de c está dado por c2 = a 2 + b2 = 2 3 5 c 4 45 ⇒ = Los focos están en (3, –2 2 3 5 − ) y (3, –2 2 3 5 + ) y la excentricidad es e = 2 5 Algunas De Estas Imágenes Explican La Hipérbola Y Como Esta Se Asimila Al Mundo Real O Como Estas Se Acoplan Al Mundo Real .

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