Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva. Ecuación: Excentricidad Asíntotas Ecuación reducida de la hipérbola F'(-c,0) y F(c,0) Ecuación de la hipérbola con los focos en el eje OY F'(0, -c) y F(0, c) Ecuación de la hipérbola con eje paralelo a OX, sin centro el origen Donde A y B tienen signos opuestos. Ecuación de la hipérbola con eje paralelo a OY, sin centro el origen Ecuación de la hipérbola equilátera Asíntotas , Excentricidad Ecuación de la hipérbola equilátera respecto a sus asíntotas Ejercicios: Representa gráficamente y determina las coordenadas del centro, de los focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes hipérbolas: 1

Como Se Denomina La Hipérbola En Un Cono

Hipérbola: Es una curva abierta de dos ramas, producida por la intersección de un cono circular recto y un plano que corta las dos secciones del cono.

Puede ser definida como una curva plana que es el camino de un punto al moverse, para que el radio de la distancia desde algún punto fijo (foco), hacia la distancia de otro punto fijo (directriz), es constante mayor a uno. La hipérbola por su simetría, tiene dos focos.

Si una línea es dibujada por el foco y prolongada después de el eje transversal de la hipérbola, perpendicular a ese eje, e intersectándolo en el centro geométrico de la hipérbola, un punto a la mitad entre los dos focos, ahí se encuentra el aje conjugado. La hipérbola es simétrica con respecto a sus dos ejes. Dos líneas simétricas, las asíntotas de la curva, pasa por el centro geométrico. Ha hipérbola no toca las asíntotas, pero su distancia con ellas se acorta, pero nunca llegan a intersectarse. Ecuación de la Hipérbola: (y-k) 2 - (x-h) 2 =1 Centro = (h, k) b2 a2 Vértices = (h, k+b) Focos = (h, k+c) Aplicaciones Al Mundo Real : Para diseño de Puentes, ya que se puede distribuir el peso de todo el puente.

Para explicar la teoría que dice que la Luna gira alrededor de la Tierra.

Conclusión: Las curvas cónicas: elipse, círculo, hipérbola y parábola, han sido de mucha importancia en la vida del ser humano, ya que gracias a ellas, su han podido desarrollar diferentes aparatos, artefactos y cosas, con el fin de beneficiar, y facilitar la vida del ser humano.

Grupo #3

Historia Según la tradición, las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo, en su estudio del problema de la duplicación del cubo,2 donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratóstenes.3 Sin embargo, el primero en usar el término hipérbola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas,4 considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cónicas. Solución A Problemas Vídeos

Ejercicios Para Desarrollar 1)Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes hipérbolas

2) Representa gráficamente y determina las coordenadas del centro, de los focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes hipérbolas:

Ejercicio 1: Determina la ecuación canónica de la hipérbola cuyo centro es el punto C(2, 3) y tiene sus focos sobre la recta y = 3. Además, la distancia entre los focos es 10 unidades y la distancia entre sus vértices es 8 unidades. Traza la gráfica y determina las coordenadas de los vértices, focos y ecuaciones de las asíntotas. Ejercicio 2: Determina la ecuación canónica y los demás elementos de la hipérbola con vértices en (0, 2) y (6, 2) y las asíntotas son x 3 2 x, y 4 3 2 y = = − . Ejercicio 3: En cada uno de los ejercicios siguientes encuentre el centro, los focos, los vértices y las ecuaciones de las asíntotas de cada hipérbola. Trace la gráfica correspondiente. ( ) ( ) 3.2 ( ) x 5 4(y 4) 16 1 9 x 1 4 y 3 3.1 2 2 2 2 + − − = = + − − Ejercicio 4: Dada la ecuación 3x2 – y 2 +12x – 9 =0, decide si representa a una hipérbola. En caso afirmativo halla la ecuación canónica y determina sus elementos. Ejercicio 5: Dada la hipérbola cuya ecuación viene dada por 7x2 – 9y2 = 63 . Determina las coordenadas de los focos, de los vértices y las ecuaciones de las asíntotas. Traza la gráfica. RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS IMPARES 1.- Ecuación canónica de la parábola: ( ) ( ) 1 9 y 3 16 x 2 2 2 = − − − Focos: F1(– 3, 3) y F2(7, 3) Vértices: V1(– 2, 3) y V2(6, 3) Ecuaciones de las asíntotas: 3x – 4y + 6 = 0 y 3x + 4y – 18 = 0 3.1- Centro: (– 1, 3) Focos: F1(– 1, 3 – 13 ) y F2(– 1, 3 + 13 ) Vértices: V1(– 1, 1) y V2(– 1, 5) Ecuaciones de las asíntotas: y = (x 1) 3 3 2 + + y = – (x 1) 3 3 2 + + 5.- Ecuación canónica: 1 7 y 9 x 2 2 − = Focos: F1(– 4, 0) y F2(4, 0) Vértices: V1(– 3, 0) y V2(3, 0) Ejemplos De La Hipérbola Ejemplo 1 Hallar la ecuación canónica, los focos, los vértices, la excentricidad y las asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es 9x2 – y 2 – 36x – 6y + 18 = 0 Completando cuadrados en ambas variables tenemos 9(x 2 – 4x + 4 – 4) – (y2 + 6y + 9 – 9) + 18 = 0 9(x – 2)2 – 36 – (y + 3)2 + 9 + 18 = 0 9(x – 2)2 – (y + 3)2 = 9 Dividiendo por 9 a ambos miembros de la igualdad queda: 1 9 ( 3) ( 2) 2 2 = + − − y x Por tanto, el centro está en (2, – 3). El eje transverso de la hipérbola es horizontal, a = 1 y b = 3. Como c 2 = a 2 + b2 , se tiene que c = 10 . Por lo tanto los vértices están en (1, – 3) y (3, – 3), en tanto que los focos se ubican en (2 + 10 , – 3) y en (2 – 10 , – 3). La excentricidad es e = 10 . Ejemplo 2 Hallar la ecuación canónica de la hipérbola con vértices en (3, – 5) y (3, 1), y las asíntotas son las rectas y = 2x – 8 e y = – 2x + 4 . Además calcule los focos, la excentricidad y trace la gráfica. Por ser el centro el punto medio del segmento que une los vértices sus coordenadas son (3, –2). Además, la hipérbola tiene eje transverso vertical y el valor de a es 3. Por otro lado, por el teorema de las asíntotas m = 2 = 2 3 b 2 a b b a ⇒ = ⇒ = Por tanto, la ecuación canónica es 1 4 9 (x 3) 9 (y 2) 2 2 = − − +El valor de c está dado por c2 = a 2 + b2 = 2 3 5 c 4 45 ⇒ = Los focos están en (3, –2 2 3 5 − ) y (3, –2 2 3 5 + ) y la excentricidad es e = 2 5 Algunas De Estas Imágenes Explican La Hipérbola Y Como Esta Se Asimila Al Mundo Real O Como Estas Se Acoplan Al Mundo Real .

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